AtCoder Grand Contest 025: D - Choosing Points

思考過程を文章として残してみたので、公開してみようっと。

問題

2N*2Nのグリッド上で、どの2点間の距離もd1、d2とは異なるようなN*N要素からなる集合を作ってください。

D - Choosing Points

解説

最初の方針

特に何も考えなければ全体の1/4を選べれば正解で、d=1の時は市松模様、d=2の時はストライプになる感じでd1,d2でそれぞれ1/2になりそう?(d=25とかa2+b2=c2になるときは要検証)

ってことで取り敢えず(0,0)から貪欲に選択していく方式で実装してみる。O(N3)くらいにしなきゃいけないので、

  1. 最初に(0,0)から距離がd1,d2の点を列挙->O(N2)
  2. 1で生成したリストの要素を(x,y)としたとき、他の点でも使えるよう(-x,y)、(x,-y)、(-x,-y)もリストに加える。
  3. 各点について2で生成したリスト分ずらした点を1つも使用していなければ使える。リストの点は実際ほとんど存在しないはずなので、O(1)位に見積もっても悲惨なことにはならないはず。

という感じです。

で、勿論WAしました(だから検証しろって言ったじゃん…)

a2+b2=dで分解できるとき

取り敢えず20×20でd=25の時の残りマス数を見ると「139/400」。1/2未満です。実際提出してみた結果を見ても、このケースさえ何とかなればACぽい。

生成されたマス目(以下。oを使用しています)をみるとかなり不規則なので、これを規則的に直したいと思います。

oooooxxxxxoooooxxxxx
oooooxxxxxoooooxxxxx
oooooxxxxxoooooxxxxx
xoooxxxxxxxoooxxxxxo
xxoxxxxxxxxxoxxxxxxo
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxo
xxxxxxxxxxxxxxxxxxoo
xxxxxxxoxxxxxxxxxooo
oxxxoxoooxoxxxoxxoox
ooxooxxoxxooxoxxxoxx
oooxoxxxoxoxoxxxxxox
xoxxxoxoxoxxxxxxxoxx
xxoxxxxxxxxxoxxxoxxx
xxoxxxxxxoxoxxxoxxxo
xxoxxxoxoxxxoxoxoxox
xxxoxoxoxoxoxoxoxoxo
oxoooxxxxxoxoxoxoxox
ooxoxxxoxoxoxoxoxoxo
oxxxoxoxoxoxoxoxoxox
xoxoxoxxxoxoxoxoxoxo

ところでd=25の時に限って言うと、「市松模様」で実は通ります。ただ、同じ形状のd=100では2x2単位の市松模様にする必要があります。これは分解後のa,bの偶奇に依存しそうです。

こっちの方面の考察をもう少ししてみましょう。a,bの偶奇について考えます。

  • dが奇数⇔a,bの偶奇が異なるとき
  • d≡2(mod 4)⇔a,bがともに奇数のとき
    • d=50が(1,7)と(5,5)で分解できるなど。斜めのみのパターン。d=130が結構厄介で、貪欲解はこいつに殺されます。
    • でもその原因は「貪欲だから」で、少し控えめの「偶数行目のみ取る」という方針を取れば解決。(両方奇数ダカラネ!)
  • d≡0(mod 4)⇔a,bともに偶数のとき
    • これは、全体を2で割って座標を圧縮することで上のどちらかのパターンに持ち込むタイプ?縮小して上のケースに持ち込んだ後、拡大するのを忘れずに。

また、上の考察で用いられる模様は全て「残りの個数を1/2にするけど、他の模様と独立」という点があるため、問題無く1/4取り切ることが出来るはず。

bool use[610][610];

void fill(int d, int n) {
    int cnt = 0;
    while (d % 4 == 0) {
        d /= 4;
        cnt++;
    }
    int m = 1 << cnt;
    if (d % 4 == 1) {
        // 市松模様
        rep(i, n) {
            rep(j, n) {
                if (((i>>cnt)+(j>>cnt)) % 2 == 1) {
                    use[i][j] = false;
                }
            }
        }
    }
    else if (d % 4 == 2) {
        // ストライプ
        rep(i, n) {
            if ((i >> cnt) % 2 == 1) {
                rep(j, n)   use[i][j] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n, d1, d2; cin >> n >> d1 >> d2;
    int N = n << 1;
    rep(i, N)   rep(j, N)   use[i][j] = true;
    fill(d1, N);
    fill(d2, N);
    // 同じフィルターをかけたりすると密度が1/4にならないので、cnt必須
    int cnt = 0;
    rep(i, N) {
        rep(j, N) {
            if (use[i][j]) {
                cout << i << " " << j << endl;
                if (++cnt == n * n)   return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

感想

超考察寄りの構築ゲーでした。このレベルで試行していたら分かりやすいな…と思って書いてみたけど、どうなんだろ(コードの読みやすさは度外視)

SRM599(div1) Med: FindPolygons

昨日こんなことをし始めました。

hyoga.hatenablog.com

ただ、今の自分は黄色手前の青。div1Easyは流石に解けていないといけない領域です。ということで、一緒にMedも解くことで精進をしよう!というのが本来の趣旨です(絶対分かるかこんなん)

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SRM 599(div1) Easy: BigFatInteger

Twitterに潜っていたらプロからこんな発言が。

よし、やってやろうじゃないか(錯乱)
ってことで1問目。なんか回数によってアクセスに無限に時間がかかるので、適当に出来るところからやってきます。

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